メルストのあんスタコラボでコラボユニットコンプする期待値を計算してみた2
前回で、:10連で
人引いたとき、コラボユニットを
人所持している確率が
について
とすると
のとき
と表せることが分かった。
行列Aを対角化しよう
対角化とは
行列に、ある行列
を右から、
の逆行列を左からかけて、
の形にすることを行列の対角化といい、この対角線上以外の項が0である行列を対角行列という。
とすると、
という性質を使うことで、
が簡単に計算できるようになる。
固有値を求める
行列を対角化する際には、
となる固有値と固有ベクトル
を求める必要がある。
今回、行列は5次の正方行列なので、固有値と固有ベクトルは5つずつ存在する、はず。
固有値は行列 の行列式が0となる
を計算することで求められる。
に対する
を求める。
を
に代入すると
と置くと
よって
に対する
を求める。
を
に代入すると
と置くと
よって
に対する
を求める。
を
に代入すると
と置くと
よって
に対する
を求める。
を
に代入すると
と置くと
よって
に対する
を求める。
を
に代入すると
は任意の数でよいので
とおくと、
を
を用いて表す
のとき
であるから
となる。
これにを代入すると、
10連スカウトの場合
10連スカウトの場合は上記にA'をかけるので、
メルストのあんスタコラボでコラボユニットコンプする期待値を計算してみた※まだ途中
8年半ぶりの更新……
書きたい記事がTwitterに投稿するには複雑すぎたから仕方ないね。
本題
メルストとあんスタ のコラボ第3弾かぁ……
前回のコラボの時、コラボスカウトで「☆4をn人引いたときにコラボユニットをコンプしている確率」を計算したら、大学レベルの確率・漸化式・行列の知識をフル動員することになって面白かったんだよな。
今回の新コラボユニットはスキル進化できる☆5として実装される予感がするからアレだけど、「復刻コラボスカウトでコラボユニットコンプするまでどれだけ引けばいいか」を計算してみたいと思う。
前提
復刻コラボスカウトでは、☆4出現時、コラボユニット4人の誰かを必ず獲得、10連スカウト時、☆4以上1体確定となっている。
ここで「☆4以上1体確定」とは、9体は単発と同じ☆4出現率で、残りの1体は「1-[☆5の確率]」で☆4が出現するとする。
変数定義
:10連で
人引いたとき、コラボユニットを
人所持している確率
:10連を
回引いたとき、コラボユニットを
人所持している確率
:単発で☆4を引ける確率(0.0558)
:単発で☆5を引ける確率(0.03)
を漸化式で表す
コラボユニットをまだ持っていない状態から始めるとする。
まず1人目。
復刻コラボ10連の1人目で☆4を引く確率は
これは必ずまだ持っていないコラボユニットである。
よって
また、1人目で☆4を引かなかった確率は
2人目。
復刻コラボ10連の2人目時点を考える。
2人とも☆4でなければ所持人数は0人。
「1人目が☆4で、2人目が☆4以外または既存☆4」または「1人目が☆4以外で、2人目が☆4」なら所持人数は1人。
1人目が☆4で、2人目が新規☆4なら所持人数は2人。
それぞれ計算すると
3人目。
一般に人目で所持人数
人になる確率
は
人目で
人の確率×
人目で新規☆4を引かない確率と
人目で
人の確率×
人目で新規☆4を引く確率の和で計算できる。3人目の場合は以下
4人目。
同様にして復刻コラボ10連の4人目時点では
5人目。
同様にして復刻コラボ10連の5人目時点では
これは列ベクトルに行列
を左からかけた形で表せる。
ここで
とすると
一般化
初期値 とすると
のとき
が成り立つ。
10人目の場合
のときは単発で☆5を引ける確率
を使った
ではない行列をかけることになる。
これをとする。
このとき
10連を引いたときにコラボユニットを所持できている確率は
初期値 に対して、
となる。
ep.39 〜破壊可能オブジェクト
ep.38 〜ずばっとまるっと
訪れた場所
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ep.36 〜ポケモンリーグ再挑戦
訪れた場所
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