2022-06-26

メルストのあんスタコラボでコラボユニットコンプする期待値を計算してみた2

前回で、 $p_{mn}$ :10連で $n$ 人引いたとき、コラボユニットを $m$ 人所持している確率が
について
$\overrightarrow{p_{n}}=\left(\begin{array}{c}p_{n0}\\p_{n1}\\p_{n2}\\p_{n3}\\p_{n4}\\\end{array}\right),A=\left(\begin{matrix}1-r&0&0&0&0\\r&1-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&1-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&1-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&1\end{matrix}\right)$
とすると
$0\lt n\lt 10$ のとき
$\overrightarrow{p_n}=A\overrightarrow{p_{n-1}}$ と表せることが分かった。

行列Aを対角化しよう

対角化とは

行列 $A$ に、ある行列 $P$ を右から、 $P$ の逆行列を左からかけて、
$P^{-1}AP=\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&0&0&0\\0&\lambda_1&0&0&0\\0&0&\lambda_2&0&0\\0&0&0&\lambda_3&0\\0&0&0&0&\lambda_4\end{matrix}\right)$
の形にすることを行列の対角化といい、この対角線上以外の項が0である行列を対角行列という。
$P^{-1}AP=D$ とすると、
$D^{n}=\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&0&0&0\\0&\lambda_1&0&0&0\\0&0&\lambda_2&0&0\\0&0&0&\lambda_3&0\\0&0&0&0&\lambda_4\end{matrix}\right)^{n}=\left(\begin{matrix}\lambda_0^{n}&0&0&0&0\\0&\lambda_1^{n}&0&0&0\\0&0&\lambda_2^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda_3^{n}&0\\0&0&0&0&\lambda_4^{n}\end{matrix}\right)$
という性質を使うことで、
$A^{n} = \left(PDP^{-1}\right)^{n} = PD^{n}P^{-1}$
が簡単に計算できるようになる。

固有値を求める

行列を対角化する際には、
$A\overrightarrow{x}=\lambda\overrightarrow{x}$
となる固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $\overrightarrow{x}$ を求める必要がある。
今回、行列 $A$ は5次の正方行列なので、固有値と固有ベクトルは5つずつ存在する、はず。
固有値は行列 $A-\lambda E$ の行列式が0となる $\lambda$ を計算することで求められる。

$\det(A-\lambda E)=\begin{bmatrix}1-r-\lambda&0&0&0&0\\r&1-\frac{3}{4}r-\lambda&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&1-\frac{2}{4}r-\lambda&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&1-\frac{1}{4}r-\lambda&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&1-\lambda\end{bmatrix}=0\\\Leftrightarrow(1-r-\lambda)(1-\frac{3}{4}r-\lambda)(1-\frac{2}{4}r-\lambda)(1-\frac{1}{4}r-\lambda)(1-\lambda)=0\\\Leftrightarrow\lambda=1-r,\,1-\frac{3}{4}r,\,1-\frac{2}{4}r,\,1-\frac{1}{4}r,\,1$

これで、
$\lambda_0=1-r,\,\lambda_1=1-\frac{3}{4}r,\,\lambda_2=1-\frac{2}{4}r,\,\lambda_3=1-\frac{1}{4}r,\,\lambda_4=1$
の5つの固有値が得られたので、それぞれに対する固有ベクトル
$\overrightarrow{x_0},\,\overrightarrow{x_1},\,\overrightarrow{x_2},\,\overrightarrow{x_3},\,\overrightarrow{x_4}$
を求めていく。

固有ベクトルを求める。

$\overrightarrow{x_n}=\left(\begin{array}{c}x_{n0}\\x_{n1}\\x_{n2}\\x_{n3}\\x_{n4}\\\end{array}\right)$
とする。
固有ベクトルは
$\left(A-\lambda_n E\right)\overrightarrow{x_n}＝\overrightarrow{0}$
を解くことで得られる。

$\lambda_0$ に対する $\overrightarrow{x_0}$ を求める。

$\lambda_0=1-r$ を $\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}＝\overrightarrow{0}$ に代入すると
$\left(\begin{matrix}0&0&0&0&0\\r&\frac{1}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&\frac{3}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&r\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{00}\\x_{01}\\x_{02}\\x_{03}\\x_{04}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)$

$\Rightarrow\begin{cases}rx_{00}+\frac{1}{4}rx_{01}=0\\\frac{3}{4}rx_{01}+\frac{2}{4}rx_{02}=0\\\frac{2}{4}rx_{02}+\frac{3}{4}rx_{03}=0\\\frac{1}{4}rx_{03}+rx_{04}=0\\\end{cases}$

$x_{00}=t$ と置くと
$x_{01}=-4t,\, x_{02}=6t,\, x_{03}=-4t,\, x_{04}=t$
よって

$\Rightarrow\overrightarrow{x_0}=\left(\begin{array}{c}x_{00}\\x_{01}\\x_{02}\\x_{03}\\x_{04}\\\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}1\\-4\\6\\-4\\1\end{array}\right)$

$\lambda_1$ に対する $\overrightarrow{x_1}$ を求める。

$\lambda_1=1-\frac{3}{4}r$ を $\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}＝\overrightarrow{0}$ に代入すると

$\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}r&0&0&0&0\\r&0&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&\frac{1}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&\frac{2}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&\frac{3}{4}r\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{10}\\x_{11}\\x_{12}\\x_{13}\\x_{14}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)$
$\Rightarrow\begin{cases}rx_{10}=0\\\frac{3}{4}rx_{11}+\frac{1}{4}rx_{12}=0\\\frac{2}{4}rx_{12}+\frac{2}{4}rx_{13}=0\\\frac{1}{4}rx_{13}+\frac{3}{4}rx_{14}=0\\\end{cases}$

$x_{11}=t$ と置くと
$x_{12}=-3t,\, x_{13}=3t,\, x_{14}=-t$

よって
$\overrightarrow{x_1}=\left(\begin{array}{c}x_{10}\\x_{11}\\x_{12}\\x_{13}\\x_{14}\\\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}0\\1\\-3\\3\\-1\end{array}\right)$

$\lambda_2$ に対する $\overrightarrow{x_2}$ を求める。

$\lambda_2=1-\frac{2}{4}r$ を $\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}＝\overrightarrow{0}$ に代入すると

$\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4}r&0&0&0&0\\r&-\frac{1}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&\frac{2}{4}r\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{20}\\x_{21}\\x_{22}\\x_{23}\\x_{24}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)$
$\Rightarrow\begin{cases}rx_{20}=x_{21}=0\\\frac{2}{4}rx_{22}+\frac{1}{4}rx_{23}=0\\\frac{1}{4}rx_{23}+\frac{2}{4}rx_{24}=0\\\end{cases}$

$x_{22}=t$ と置くと
$x_{23}=-2t,\, x_{24}=t$

よって
$\overrightarrow{x_2}=\left(\begin{array}{c}x_{20}\\x_{21}\\x_{22}\\x_{23}\\x_{24}\\\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\-2\\1\end{array}\right)$

$\lambda_3$ に対する $\overrightarrow{x_3}$ を求める。

$\lambda_3=1-\frac{1}{4}r$ を $\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}＝\overrightarrow{0}$ に代入すると
$\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}r&0&0&0&0\\r&-\frac{2}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&-\frac{1}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&\frac{1}{4}r\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{30}\\x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)$
$\Rightarrow\begin{cases}rx_{30}=x_{31}=x_{32}=0\\\frac{1}{4}rx_{33}+\frac{1}{4}rx_{34}=0\\\end{cases}$

$x_{33}=t$ と置くと
$x_{34}=-t$

よって
$\overrightarrow{x_3}=t\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\\-1\end{array}\right)$

$\lambda_4$ に対する $\overrightarrow{x_4}$ を求める。

$\lambda_4=1$ を $\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}＝\overrightarrow{0}$ に代入すると
$\left(\begin{matrix}-r&0&0&0&0\\r&-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&0\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{40}\\x_{41}\\x_{42}\\x_{43}\\x_{44}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)$
$\Rightarrow rx_{40}=x_{41}=x_{42}=x_{43}=0$

$x_{44}$ は任意の数でよいので $t$ とおくと、

$\overrightarrow{x_4}=t\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\1\end{array}\right)$

固有ベクトルを並べて $P$ とする。

行列 $A$ を対角化するための行列 $P$ は固有ベクトル $x_0 ～ x_4$ を順に並べたものとなる。

よって
$P=\left(\begin{matrix}x_{00}&x_{10}&x_{20}&x_{30}&x_{40}\\x_{01}&x_{11}&x_{21}&x_{31}&x_{41}\\x_{02}&x_{12}&x_{22}&x_{32}&x_{42}\\x_{03}&x_{13}&x_{23}&x_{33}&x_{34}\\x_{04}&x_{14}&x_{24}&x_{34}&x_{44}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\-4&1&0&0&0\\6&-3&1&0&0\\-4&3&-2&1&0\\1&-1&1&-1&1\end{matrix}\right)$

$P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求める。

$P$ の右に単位行列 $E$ を並べた行列に対して、以下の操作を繰り返して単位行列 $E$ の右にある行列が並んだ状態にする。

ある行をスカラー倍する
ある行をスカラー倍して別の行に加える
ある行と別の行を入れ替える

そうした結果、単位行列 $E$ の右に並ぶ行列は $P$ の逆行列 $P^{-1}$ となる。

$\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\-4&1&0&0&0&|&0&1&0&0&0\\6&-3&1&0&0&|&0&0&1&0&0\\-4&3&-2&1&0&|&0&0&0&1&0\\1&-1&1&-1&1&|&0&0&0&0&1\end{matrix}\right)$
第1行を、4倍して第2行に、-6倍して第3行に、4倍して第4行に、-1倍して第5行に加える
$\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&|&4&1&0&0&0\\0&-3&1&0&0&|&-6&0&1&0&0\\0&3&-2&1&0&|&4&0&0&1&0\\0&-1&1&-1&1&|&-1&0&0&0&1\end{matrix}\right)$
第2行を、3倍して第3行に、-3倍して第4行に、1倍して第5行に加える
$\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&|&4&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&|&6&3&1&0&0\\0&0&-2&1&0&|&-8&-3&0&1&0\\0&0&1&-1&1&|&3&1&0&0&1\end{matrix}\right)$
第3行を、2倍して第4行に、-1倍して第5行に加える
$\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&|&4&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&|&6&3&1&0&0\\0&0&0&1&0&|&4&3&2&1&0\\0&0&0&-1&1&|&-3&-2&-1&0&1\end{matrix}\right)$
第4行を、1倍して第5行に加える
$\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&|&4&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&|&6&3&1&0&0\\0&0&0&1&0&|&4&3&2&1&0\\0&0&0&0&1&|&1&1&1&1&1\end{matrix}\right)$

よって $P$ の逆行列 $P^{-1}$ は
$P^{-1}=\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\4&1&0&0&0\\6&3&1&0&0\\4&3&2&1&0\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)$

……パスカルの三角形だあ

また、 $A$ を対角化した対角行列 $D=P^{-1}AP$ は
固有値 $\lambda_0～\lambda_4$ を対角線上に並べたものとなるので、

$D=P^{-1}AP=\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&0&0&0\\0&\lambda_1&0&0&0\\0&0&\lambda_2&0&0\\0&0&0&\lambda_3&0\\0&0&0&0&\lambda_4\end{matrix}\right)$
$=\left(\begin{matrix}1-r&0&0&0&0\\0&1-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&0&1-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&0&1-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&0&1\end{matrix}\right)$
となる。

$\overrightarrow{p_{n}}$ を $\overrightarrow{p_{0}}$ を用いて表す

$0\lt n\lt 10$ のとき $\overrightarrow{p_n}=A\overrightarrow{p_{n-1}}$ であるから
$\overrightarrow{p_n}=A^{n}\overrightarrow{p_{0}}$ となる。
これに $A=PDP^{-1}$ を代入すると、
$\overrightarrow{p_n}=A^{n}\overrightarrow{p_{0}}$
$=\left(PDP^{-1}\right)^{n}\\=PD^{n}P^{-1}\\=\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\-4&1&0&0&0\\6&-3&1&0&0\\-4&3&-2&1&0\\1&-1&1&-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&0&0&0\\0&\lambda_1&0&0&0\\0&0&\lambda_2&0&0\\0&0&0&\lambda_3&0\\0&0&0&0&\lambda_4\end{matrix}\right)^{n}\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\4&1&0&0&0\\6&3&1&0&0\\4&3&2&1&0\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}$
$=\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\-4&1&0&0&0\\6&-3&1&0&0\\-4&3&-2&1&0\\1&-1&1&-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda_0^{n}&0&0&0&0\\0&\lambda_1^{n}&0&0&0\\0&0&\lambda_2^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda_3^{n}&0\\0&0&0&0&\lambda_4^{n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\4&1&0&0&0\\6&3&1&0&0\\4&3&2&1&0\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}$
$=\left(\begin{matrix}\lambda_0^{n}&0&0&0&0\\-4\lambda_0^{n}&\lambda_1^{n}&0&0&0\\6\lambda_0^{n}&-3\lambda_1^{n}&\lambda_2^{n}&0&0\\-4\lambda_0^{n}&3\lambda_1^{n}&-2\lambda_2^{n}&\lambda_3^{n}&0\\\lambda_0^{n}&-\lambda_1^{n}&\lambda_2^{n}&-\lambda_3^{n}&\lambda_4^{n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\4&1&0&0&0\\6&3&1&0&0\\4&3&2&1&0\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}$
$=\left(\begin{matrix}\lambda_0^{n}&0&0&0&0\\-4\lambda_0^{n}+4\lambda_1^{n}&\lambda_1^{n}&0&0&0\\6\lambda_0^{n}-12\lambda_1^{n}+6\lambda_2^{n}&-3\lambda_1^{n}+3\lambda_2^{n}&\lambda_2^{n}&0&0\\-4\lambda_0^{n}+12\lambda_1^{n}-12\lambda_2^{n}+4\lambda_3^{n}&3\lambda_1^{n}-6\lambda_2^{n}+3\lambda_3^{n}&-2\lambda_2^{n}+2\lambda_3^{n}&\lambda_3^{n}&0\\\lambda_0^{n}-4\lambda_1^{n}+6\lambda_2^{n}-4\lambda_3^{n}+\lambda_4^{n}&-\lambda_1^{n}+3\lambda_2^{n}-3\lambda_3^{n}+\lambda_4^{n}&\lambda_2^{n}-2\lambda_3^{n}+\lambda_4^{n}&-\lambda_3^{n}+\lambda_4^{n}&\lambda_4^{n}\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}$

10連スカウトの場合

10連スカウトの場合は上記にA'をかけるので、

$\overrightarrow{p_10}=A'A^{9}\overrightarrow{p_{0}}$
$==\left(\begin{matrix}s&0&0&0&0\\1-s&\frac{1}{4}\left(1+3s\right)&0&0&0\\0&\frac{1}{4}\left(3-3s\right)&\frac{1}{4}\left(2+2s\right)&0&0\\0&0&\frac{1}{4}\left(2-2s\right)&\frac{1}{4}\left(3+s\right)&0\\0&0&0&\frac{1}{4}\left(1-s\right)&1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\lambda_0^{9}&0&0&0&0\\-4\lambda_0^{9}+4\lambda_1^{9}&\lambda_1^{9}&0&0&0\\6\lambda_0^{9}-12\lambda_1^{9}+6\lambda_2^{9}&-3\lambda_1^{9}+3\lambda_2^{9}&\lambda_2^{9}&0&0\\-4\lambda_0^{9}+12\lambda_1^{9}-12\lambda_2^{9}+4\lambda_3^{9}&3\lambda_1^{9}-6\lambda_2^{9}+3\lambda_3^{9}&-2\lambda_2^{9}+2\lambda_3^{9}&\lambda_3^{9}&0\\\lambda_0^{9}-4\lambda_1^{9}+6\lambda_2^{9}-4\lambda_3^{9}+\lambda_4^{9}&-\lambda_1^{9}+3\lambda_2^{9}-3\lambda_3^{9}+\lambda_4^{9}&\lambda_2^{9}-2\lambda_3^{9}+\lambda_4^{9}&-\lambda_3^{9}+\lambda_4^{9}&\lambda_4^{9}\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}$

2022-06-25

メルストのあんスタコラボでコラボユニットコンプする期待値を計算してみた※まだ途中

メルスト

8年半ぶりの更新……
書きたい記事がTwitterに投稿するには複雑すぎたから仕方ないね。

本題

メルストとあんスタのコラボ第3弾かぁ……
前回のコラボの時、コラボスカウトで「☆4をｎ人引いたときにコラボユニットをコンプしている確率」を計算したら、大学レベルの確率・漸化式・行列の知識をフル動員することになって面白かったんだよな。

今回の新コラボユニットはスキル進化できる☆5として実装される予感がするからアレだけど、「復刻コラボスカウトでコラボユニットコンプするまでどれだけ引けばいいか」を計算してみたいと思う。

前提

復刻コラボスカウトでは、☆4出現時、コラボユニット4人の誰かを必ず獲得、10連スカウト時、☆4以上1体確定となっている。
ここで「☆4以上1体確定」とは、9体は単発と同じ☆4出現率で、残りの1体は「1-[☆5の確率]」で☆4が出現するとする。

変数定義

$p_{mn}$ :10連で $n$ 人引いたとき、コラボユニットを $m$ 人所持している確率
$q_{mn}$ :10連を $n$ 回引いたとき、コラボユニットを $m$ 人所持している確率
$r$ :単発で☆4を引ける確率（0.0558）
$s$ :単発で☆5を引ける確率（0.03）

$p_{mn}$ を漸化式で表す

コラボユニットをまだ持っていない状態から始めるとする。

まず１人目。

復刻コラボ10連の1人目で☆4を引く確率は $r$
これは必ずまだ持っていないコラボユニットである。
よって

$p_{11}=r$

また、1人目で☆4を引かなかった確率 $p_{01}$ は

$p_{01}=1-r$

２人目。

復刻コラボ10連の2人目時点を考える。

2人とも☆4でなければ所持人数は０人。
「1人目が☆4で、2人目が☆４以外または既存☆４」または「１人目が☆４以外で、２人目が☆４」なら所持人数は１人。
1人目が☆4で、2人目が新規☆4なら所持人数は２人。

それぞれ計算すると

$\begin{cases}p_{02}=\left(1-r\right)p_{01}\\p_{12}=rp_{01}+\left(1-\frac{3}{4}r\right)p_{11}\\p_{22}=\frac{3}{4}rp_{11}\end{cases}$

３人目。

一般に $n$ 人目で所持人数 $m$ 人になる確率 $p_{mn}$ は $n-1$ 人目で $m$ 人の確率× $n$ 人目で新規☆4を引かない確率と $n-1$ 人目で $m-1$ 人の確率× $n$ 人目で新規☆4を引く確率の和で計算できる。3人目の場合は以下

$\begin{cases}p_{03}=\left(1-r\right)p_{02}\\p_{13}=rp_{02}+\left(1-\frac{3}{4}r\right)p_{12}\\p_{23}=\frac{3}{4}rp_{12}+\left(1-\frac{2}{4}r\right)p_{22}\\p_{33}=\frac{2}{4}rp_{22}\end{cases}$

4人目。

同様にして復刻コラボ10連の4人目時点では

$\begin{cases}p_{04}=\left(1-r\right)p_{03}\\p_{14}=rp_{03}+\left(1-\frac{3}{4}r\right)p_{13}\\p_{24}=\frac{3}{4}rp_{13}+\left(1-\frac{2}{4}r\right)p_{23}\\p_{34}=\frac{2}{4}rp_{23}+\left(1-\frac{1}{4}r\right)p_{33}\\p_{44}=\frac{1}{4}rp_{33}\end{cases}$

5人目。

同様にして復刻コラボ10連の5人目時点では

$\begin{cases}p_{05}=\left(1-r\right)p_{04}\\p_{15}=rp_{04}+\left(1-\frac{3}{4}r\right)p_{13}\\p_{25}=\frac{3}{4}rp_{14}+\left(1-\frac{2}{4}r\right)p_{24}\\p_{35}=\frac{2}{4}rp_{24}+\left(1-\frac{1}{4}r\right)p_{34}\\p_{45}=\frac{1}{4}rp_{34}+p_{44}\end{cases}$

これは列ベクトル $p_n$ に行列 $A$ を左からかけた形で表せる。

$\left(\begin{array}{c}p_{05}\\p_{15}\\p_{25}\\p_{35}\\p_{45}\\\end{array}\right)=\left(\begin{matrix}1-r&0&0&0&0\\r&1-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&1-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&1-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&1\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}p_{04}\\p_{14}\\p_{24}\\p_{34}\\p_{44}\\\end{array}\right)$

ここで

$\overrightarrow{p_{n}}=\left(\begin{array}{c}p_{n0}\\p_{n1}\\p_{n2}\\p_{n3}\\p_{n4}\\\end{array}\right),A=\left(\begin{matrix}1-r&0&0&0&0\\r&1-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&1-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&1-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&1\end{matrix}\right)$

とすると

$\overrightarrow{p_5}=A\overrightarrow{p_4}$

一般化

初期値 $p_0=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\\0\end{array}\right)$ とすると $0\lt n\lt 10$ のとき
$\overrightarrow{p_n}=A\overrightarrow{p_{n-1}}$ が成り立つ。

10人目の場合

$n=10$ のときは単発で☆5を引ける確率 $s$ を使った $A$ ではない行列をかけることになる。
これを $A'$ とする。

$\left(\begin{array}{c}p_{0,10}\\p_{1,10}\\p_{2,10}\\p_{3,10}\\p_{4,10}\\\end{array}\right)=\left(\begin{matrix}s&0&0&0&0\\1-s&\frac{1}{4}\left(1+3s\right)&0&0&0\\0&\frac{1}{4}\left(3-3s\right)&\frac{1}{4}\left(2+2s\right)&0&0\\0&0&\frac{1}{4}\left(2-2s\right)&\frac{1}{4}\left(3+s\right)&0\\0&0&0&\frac{1}{4}\left(1-s\right)&1\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}p_{0,9}\\p_{1,9}\\p_{2,9}\\p_{3,9}\\p_{4,9}\\\end{array}\right)$

このとき

$A'=\left(\begin{matrix}s&0&0&0&0\\1-s&\frac{1}{4}\left(1+3s\right)&0&0&0\\0&\frac{1}{4}\left(3-3s\right)&\frac{1}{4}\left(2+2s\right)&0&0\\0&0&\frac{1}{4}\left(2-2s\right)&\frac{1}{4}\left(3+s\right)&0\\0&0&0&\frac{1}{4}\left(1-s\right)&1\end{matrix}\right)$

10連を引いたときにコラボユニットを所持できている確率は
初期値 $p_0$ に対して、 $\overrightarrow{p_{10}}=A'A^{9}\overrightarrow{p_0}$ となる。

2013-12-31

メモ

1番道路：アサメの小道
2番道路：アバンセ通り
3番道路：ウベール通り
4番道路：パルテール街道
5番道路：ベルサン通り
6番道路：パレの並木道
7番道路：リビエールライン
8番道路：ミュライユ海岸
9番道路：トゲトゲ山道
10番道路：メンヒルロード
11番道路：ミロワール通り
12番道路：フラージュ通り
13番道路：ミアレの荒野
14番道路：クノエの林道
15番道路：ブラン通り
16番道路：トリスト通り
17番道路：マンムーロード
18番道路：エトロワ・バレ通り
19番道路：ラルジュ・バレ通り
20番道路：迷いの森
21番道路：デルニエ通り

2013-11-23

ep.39 〜破壊可能オブジェクト

Yレポート

訪れた場所

5番道路
7番道路
ミアレシティ
フウジョタウン
ショウヨウシティ
など

手に入れたポケモン

ベロベルト（ベロリンガから進化）
ランプラー（ヒトモシから進化）
シャンデラ（ランプラーから進化）
ユキカブリ
プラスル
ピジョン（ポッポから進化）
ピジョット（ピジョンから進化）
ペリッパー（卵からかえったキャモメから進化）
ドラミドロ

気づいたこと他

きのみの入手法をネットで調査。戦闘フィールドに「実のなった木」が現れた時に「たつまき」などの全体攻撃を行うことで入手できるらしい。
ということで該当の技を覚えるポケモンを捕獲・育成。
そのまえに三ツ星レストランで大爆発するメンツを用意。
- ターン数合わせても瀕死になるから評価？は上がらないっぽい。

2013-11-22

ep.38 〜ずばっとまるっと

Yレポート

訪れた場所

22番道路
4番道路
5番道路
7番道路
8番道路
10番道路
など

手に入れたポケモン

シュバルゴ(ＧＴＳで交換したカブルモから進化)
カモネギ
ラルトス
ヤンチャム
ズルッグ
コアルヒー
パンプジン（ＧＴＳで交換したバケッチャから進化）

気づいたこと他

努力値下げる木の実3種とクラボ・カゴのみを持っていないので、とりあえず後者を野生ポケモンから奪えないか、おみとおしゴチルゼル連れてフィールドに繰り出してみる。
- どろぼうのPP25って昔と比べるとだいぶ増えたなあ……
- ということで暫定リスト
ハブネーク：キーのみ
ダンゴロ：かわらずのいし
ミルタンク：モーモーミルク
ツボツボ：きのみジュース
メタモン：スピードパウダー
カモネギ：ながねぎ
ミツハニー：あまいミツ
ヤンチャム：メンタルハーブ
ズルッグ：きれいなぬけがら
ゴビット：ひかりのねんど
ルチャブル：おうじゃのしるし
ヤンヤンマ：こうかくレンズ

2013-11-21

ep.37 ~パワー系コンプ

Yレポート

訪れた場所

キナンシティ
ミアレシティ
など

手に入れたポケモン

アギルダー(GTS で交換したチョボマキから進化)

気づいたこと他

バトルハウスシングルをもう一周して、貯まったBP でパワー系6種を揃えた。
レベル上げ用にミアレのレストランで有用なポケモンを考察。
トリプルバトル向けに大爆発守る封印重力水浸し置き土産……こんなもんか。
ベロベルトとシャンデラと……あとはドーブルでいいか。
- ところで、置き土産ってどうやってスケッチするんだ？

2013-11-20

ep.36 〜ポケモンリーグ再挑戦

Yレポート

訪れた場所

7番道路
ポケモンリーグ
など

手に入れたポケモン

気づいたこと他

四天王強化とかされてないか調査のためポケモンリーグに再挑戦。
ついでに誰が一番経験値をくれるのか、前のギーマボムみたいな稼ぎ方ができるか調査。
- Lv1ミノムッチを4匹瀕死にして用意し、各四天王戦の前に1匹ずつ回復させて、もらえる経験値を比べる
調査結果１：四天王は特に強化されていない。手持ちの数も各4匹
調査結果２：もらえる経験値が多い順はガンピ＞パキラ＞ドラセナ＞ズミ。
結論：戦闘前後のエフェクトや会話が多いことも考えるとポケモンリーグで経験値を稼ぐのは非効率っぽい

行列Aを対角化しよう

対角化とは

固有値を求める

固有ベクトルを求める。

に対するを求める。

に対するを求める。

に対するを求める。

に対するを求める。

に対するを求める。

固有ベクトルを並べてとする。

の逆行列を求める。

をを用いて表す

10連スカウトの場合

本題

前提

変数定義

を漸化式で表す

まず１人目。

２人目。

３人目。

4人目。

5人目。

一般化

10人目の場合

訪れた場所

手に入れたポケモン

気づいたこと他

訪れた場所

手に入れたポケモン

気づいたこと他

訪れた場所

手に入れたポケモン

気づいたこと他

訪れた場所

手に入れたポケモン

気づいたこと他

$\lambda_0$ に対する $\overrightarrow{x_0}$ を求める。

$\lambda_1$ に対する $\overrightarrow{x_1}$ を求める。

$\lambda_2$ に対する $\overrightarrow{x_2}$ を求める。

$\lambda_3$ に対する $\overrightarrow{x_3}$ を求める。

$\lambda_4$ に対する $\overrightarrow{x_4}$ を求める。

固有ベクトルを並べて $P$ とする。

$P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求める。

$\overrightarrow{p_{n}}$ を $\overrightarrow{p_{0}}$ を用いて表す

$p_{mn}$ を漸化式で表す