メルストのあんスタコラボでコラボユニットコンプする期待値を計算してみた2

前回で、 $p_{mn}$ :10連で $n$ 人引いたとき、コラボユニットを $m$ 人所持している確率が
について
$\overrightarrow{p_{n}}=\left(\begin{array}{c}p_{n0}\\p_{n1}\\p_{n2}\\p_{n3}\\p_{n4}\\\end{array}\right),A=\left(\begin{matrix}1-r&0&0&0&0\\r&1-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&1-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&1-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&1\end{matrix}\right)$
とすると
$0\lt n\lt 10$ のとき
$\overrightarrow{p_n}=A\overrightarrow{p_{n-1}}$ と表せることが分かった。

行列Aを対角化しよう

対角化とは

行列 $A$ に、ある行列 $P$ を右から、 $P$ の逆行列を左からかけて、
$P^{-1}AP=\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&0&0&0\\0&\lambda_1&0&0&0\\0&0&\lambda_2&0&0\\0&0&0&\lambda_3&0\\0&0&0&0&\lambda_4\end{matrix}\right)$
の形にすることを行列の対角化といい、この対角線上以外の項が0である行列を対角行列という。
$P^{-1}AP=D$ とすると、
$D^{n}=\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&0&0&0\\0&\lambda_1&0&0&0\\0&0&\lambda_2&0&0\\0&0&0&\lambda_3&0\\0&0&0&0&\lambda_4\end{matrix}\right)^{n}=\left(\begin{matrix}\lambda_0^{n}&0&0&0&0\\0&\lambda_1^{n}&0&0&0\\0&0&\lambda_2^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda_3^{n}&0\\0&0&0&0&\lambda_4^{n}\end{matrix}\right)$
という性質を使うことで、
$A^{n} = \left(PDP^{-1}\right)^{n} = PD^{n}P^{-1}$
が簡単に計算できるようになる。

固有値を求める

行列を対角化する際には、
$A\overrightarrow{x}=\lambda\overrightarrow{x}$
となる固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $\overrightarrow{x}$ を求める必要がある。
今回、行列 $A$ は5次の正方行列なので、固有値と固有ベクトルは5つずつ存在する、はず。
固有値は行列 $A-\lambda E$ の行列式が0となる $\lambda$ を計算することで求められる。

$\det(A-\lambda E)=\begin{bmatrix}1-r-\lambda&0&0&0&0\\r&1-\frac{3}{4}r-\lambda&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&1-\frac{2}{4}r-\lambda&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&1-\frac{1}{4}r-\lambda&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&1-\lambda\end{bmatrix}=0\\\Leftrightarrow(1-r-\lambda)(1-\frac{3}{4}r-\lambda)(1-\frac{2}{4}r-\lambda)(1-\frac{1}{4}r-\lambda)(1-\lambda)=0\\\Leftrightarrow\lambda=1-r,\,1-\frac{3}{4}r,\,1-\frac{2}{4}r,\,1-\frac{1}{4}r,\,1$

これで、
$\lambda_0=1-r,\,\lambda_1=1-\frac{3}{4}r,\,\lambda_2=1-\frac{2}{4}r,\,\lambda_3=1-\frac{1}{4}r,\,\lambda_4=1$
の5つの固有値が得られたので、それぞれに対する固有ベクトル
$\overrightarrow{x_0},\,\overrightarrow{x_1},\,\overrightarrow{x_2},\,\overrightarrow{x_3},\,\overrightarrow{x_4}$
を求めていく。

固有ベクトルを求める。

$\overrightarrow{x_n}=\left(\begin{array}{c}x_{n0}\\x_{n1}\\x_{n2}\\x_{n3}\\x_{n4}\\\end{array}\right)$
とする。
固有ベクトルは
$\left(A-\lambda_n E\right)\overrightarrow{x_n}＝\overrightarrow{0}$
を解くことで得られる。

$\lambda_0$ に対する $\overrightarrow{x_0}$ を求める。

$\lambda_0=1-r$ を $\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}＝\overrightarrow{0}$ に代入すると
$\left(\begin{matrix}0&0&0&0&0\\r&\frac{1}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&\frac{3}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&r\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{00}\\x_{01}\\x_{02}\\x_{03}\\x_{04}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)$

$\Rightarrow\begin{cases}rx_{00}+\frac{1}{4}rx_{01}=0\\\frac{3}{4}rx_{01}+\frac{2}{4}rx_{02}=0\\\frac{2}{4}rx_{02}+\frac{3}{4}rx_{03}=0\\\frac{1}{4}rx_{03}+rx_{04}=0\\\end{cases}$

$x_{00}=t$ と置くと
$x_{01}=-4t,\, x_{02}=6t,\, x_{03}=-4t,\, x_{04}=t$
よって

$\Rightarrow\overrightarrow{x_0}=\left(\begin{array}{c}x_{00}\\x_{01}\\x_{02}\\x_{03}\\x_{04}\\\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}1\\-4\\6\\-4\\1\end{array}\right)$

$\lambda_1$ に対する $\overrightarrow{x_1}$ を求める。

$\lambda_1=1-\frac{3}{4}r$ を $\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}＝\overrightarrow{0}$ に代入すると

$\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}r&0&0&0&0\\r&0&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&\frac{1}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&\frac{2}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&\frac{3}{4}r\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{10}\\x_{11}\\x_{12}\\x_{13}\\x_{14}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)$
$\Rightarrow\begin{cases}rx_{10}=0\\\frac{3}{4}rx_{11}+\frac{1}{4}rx_{12}=0\\\frac{2}{4}rx_{12}+\frac{2}{4}rx_{13}=0\\\frac{1}{4}rx_{13}+\frac{3}{4}rx_{14}=0\\\end{cases}$

$x_{11}=t$ と置くと
$x_{12}=-3t,\, x_{13}=3t,\, x_{14}=-t$

よって
$\overrightarrow{x_1}=\left(\begin{array}{c}x_{10}\\x_{11}\\x_{12}\\x_{13}\\x_{14}\\\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}0\\1\\-3\\3\\-1\end{array}\right)$

$\lambda_2$ に対する $\overrightarrow{x_2}$ を求める。

$\lambda_2=1-\frac{2}{4}r$ を $\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}＝\overrightarrow{0}$ に代入すると

$\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4}r&0&0&0&0\\r&-\frac{1}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&\frac{2}{4}r\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{20}\\x_{21}\\x_{22}\\x_{23}\\x_{24}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)$
$\Rightarrow\begin{cases}rx_{20}=x_{21}=0\\\frac{2}{4}rx_{22}+\frac{1}{4}rx_{23}=0\\\frac{1}{4}rx_{23}+\frac{2}{4}rx_{24}=0\\\end{cases}$

$x_{22}=t$ と置くと
$x_{23}=-2t,\, x_{24}=t$

よって
$\overrightarrow{x_2}=\left(\begin{array}{c}x_{20}\\x_{21}\\x_{22}\\x_{23}\\x_{24}\\\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\-2\\1\end{array}\right)$

$\lambda_3$ に対する $\overrightarrow{x_3}$ を求める。

$\lambda_3=1-\frac{1}{4}r$ を $\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}＝\overrightarrow{0}$ に代入すると
$\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}r&0&0&0&0\\r&-\frac{2}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&-\frac{1}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&\frac{1}{4}r\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{30}\\x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)$
$\Rightarrow\begin{cases}rx_{30}=x_{31}=x_{32}=0\\\frac{1}{4}rx_{33}+\frac{1}{4}rx_{34}=0\\\end{cases}$

$x_{33}=t$ と置くと
$x_{34}=-t$

よって
$\overrightarrow{x_3}=t\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\\-1\end{array}\right)$

$\lambda_4$ に対する $\overrightarrow{x_4}$ を求める。

$\lambda_4=1$ を $\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}＝\overrightarrow{0}$ に代入すると
$\left(\begin{matrix}-r&0&0&0&0\\r&-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&0\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{40}\\x_{41}\\x_{42}\\x_{43}\\x_{44}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)$
$\Rightarrow rx_{40}=x_{41}=x_{42}=x_{43}=0$

$x_{44}$ は任意の数でよいので $t$ とおくと、

$\overrightarrow{x_4}=t\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\1\end{array}\right)$

固有ベクトルを並べて $P$ とする。

行列 $A$ を対角化するための行列 $P$ は固有ベクトル $x_0 ～ x_4$ を順に並べたものとなる。

よって
$P=\left(\begin{matrix}x_{00}&x_{10}&x_{20}&x_{30}&x_{40}\\x_{01}&x_{11}&x_{21}&x_{31}&x_{41}\\x_{02}&x_{12}&x_{22}&x_{32}&x_{42}\\x_{03}&x_{13}&x_{23}&x_{33}&x_{34}\\x_{04}&x_{14}&x_{24}&x_{34}&x_{44}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\-4&1&0&0&0\\6&-3&1&0&0\\-4&3&-2&1&0\\1&-1&1&-1&1\end{matrix}\right)$

$P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求める。

$P$ の右に単位行列 $E$ を並べた行列に対して、以下の操作を繰り返して単位行列 $E$ の右にある行列が並んだ状態にする。

ある行をスカラー倍する
ある行をスカラー倍して別の行に加える
ある行と別の行を入れ替える

そうした結果、単位行列 $E$ の右に並ぶ行列は $P$ の逆行列 $P^{-1}$ となる。

$\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\-4&1&0&0&0&|&0&1&0&0&0\\6&-3&1&0&0&|&0&0&1&0&0\\-4&3&-2&1&0&|&0&0&0&1&0\\1&-1&1&-1&1&|&0&0&0&0&1\end{matrix}\right)$
第1行を、4倍して第2行に、-6倍して第3行に、4倍して第4行に、-1倍して第5行に加える
$\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&|&4&1&0&0&0\\0&-3&1&0&0&|&-6&0&1&0&0\\0&3&-2&1&0&|&4&0&0&1&0\\0&-1&1&-1&1&|&-1&0&0&0&1\end{matrix}\right)$
第2行を、3倍して第3行に、-3倍して第4行に、1倍して第5行に加える
$\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&|&4&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&|&6&3&1&0&0\\0&0&-2&1&0&|&-8&-3&0&1&0\\0&0&1&-1&1&|&3&1&0&0&1\end{matrix}\right)$
第3行を、2倍して第4行に、-1倍して第5行に加える
$\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&|&4&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&|&6&3&1&0&0\\0&0&0&1&0&|&4&3&2&1&0\\0&0&0&-1&1&|&-3&-2&-1&0&1\end{matrix}\right)$
第4行を、1倍して第5行に加える
$\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&|&4&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&|&6&3&1&0&0\\0&0&0&1&0&|&4&3&2&1&0\\0&0&0&0&1&|&1&1&1&1&1\end{matrix}\right)$

よって $P$ の逆行列 $P^{-1}$ は
$P^{-1}=\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\4&1&0&0&0\\6&3&1&0&0\\4&3&2&1&0\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)$

……パスカルの三角形だあ

また、 $A$ を対角化した対角行列 $D=P^{-1}AP$ は
固有値 $\lambda_0～\lambda_4$ を対角線上に並べたものとなるので、

$D=P^{-1}AP=\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&0&0&0\\0&\lambda_1&0&0&0\\0&0&\lambda_2&0&0\\0&0&0&\lambda_3&0\\0&0&0&0&\lambda_4\end{matrix}\right)$
$=\left(\begin{matrix}1-r&0&0&0&0\\0&1-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&0&1-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&0&1-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&0&1\end{matrix}\right)$
となる。

$\overrightarrow{p_{n}}$ を $\overrightarrow{p_{0}}$ を用いて表す

$0\lt n\lt 10$ のとき $\overrightarrow{p_n}=A\overrightarrow{p_{n-1}}$ であるから
$\overrightarrow{p_n}=A^{n}\overrightarrow{p_{0}}$ となる。
これに $A=PDP^{-1}$ を代入すると、
$\overrightarrow{p_n}=A^{n}\overrightarrow{p_{0}}$
$=\left(PDP^{-1}\right)^{n}\\=PD^{n}P^{-1}\\=\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\-4&1&0&0&0\\6&-3&1&0&0\\-4&3&-2&1&0\\1&-1&1&-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&0&0&0\\0&\lambda_1&0&0&0\\0&0&\lambda_2&0&0\\0&0&0&\lambda_3&0\\0&0&0&0&\lambda_4\end{matrix}\right)^{n}\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\4&1&0&0&0\\6&3&1&0&0\\4&3&2&1&0\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}$
$=\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\-4&1&0&0&0\\6&-3&1&0&0\\-4&3&-2&1&0\\1&-1&1&-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda_0^{n}&0&0&0&0\\0&\lambda_1^{n}&0&0&0\\0&0&\lambda_2^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda_3^{n}&0\\0&0&0&0&\lambda_4^{n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\4&1&0&0&0\\6&3&1&0&0\\4&3&2&1&0\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}$
$=\left(\begin{matrix}\lambda_0^{n}&0&0&0&0\\-4\lambda_0^{n}&\lambda_1^{n}&0&0&0\\6\lambda_0^{n}&-3\lambda_1^{n}&\lambda_2^{n}&0&0\\-4\lambda_0^{n}&3\lambda_1^{n}&-2\lambda_2^{n}&\lambda_3^{n}&0\\\lambda_0^{n}&-\lambda_1^{n}&\lambda_2^{n}&-\lambda_3^{n}&\lambda_4^{n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\4&1&0&0&0\\6&3&1&0&0\\4&3&2&1&0\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}$
$=\left(\begin{matrix}\lambda_0^{n}&0&0&0&0\\-4\lambda_0^{n}+4\lambda_1^{n}&\lambda_1^{n}&0&0&0\\6\lambda_0^{n}-12\lambda_1^{n}+6\lambda_2^{n}&-3\lambda_1^{n}+3\lambda_2^{n}&\lambda_2^{n}&0&0\\-4\lambda_0^{n}+12\lambda_1^{n}-12\lambda_2^{n}+4\lambda_3^{n}&3\lambda_1^{n}-6\lambda_2^{n}+3\lambda_3^{n}&-2\lambda_2^{n}+2\lambda_3^{n}&\lambda_3^{n}&0\\\lambda_0^{n}-4\lambda_1^{n}+6\lambda_2^{n}-4\lambda_3^{n}+\lambda_4^{n}&-\lambda_1^{n}+3\lambda_2^{n}-3\lambda_3^{n}+\lambda_4^{n}&\lambda_2^{n}-2\lambda_3^{n}+\lambda_4^{n}&-\lambda_3^{n}+\lambda_4^{n}&\lambda_4^{n}\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}$

10連スカウトの場合

10連スカウトの場合は上記にA'をかけるので、

$\overrightarrow{p_10}=A'A^{9}\overrightarrow{p_{0}}$
$==\left(\begin{matrix}s&0&0&0&0\\1-s&\frac{1}{4}\left(1+3s\right)&0&0&0\\0&\frac{1}{4}\left(3-3s\right)&\frac{1}{4}\left(2+2s\right)&0&0\\0&0&\frac{1}{4}\left(2-2s\right)&\frac{1}{4}\left(3+s\right)&0\\0&0&0&\frac{1}{4}\left(1-s\right)&1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\lambda_0^{9}&0&0&0&0\\-4\lambda_0^{9}+4\lambda_1^{9}&\lambda_1^{9}&0&0&0\\6\lambda_0^{9}-12\lambda_1^{9}+6\lambda_2^{9}&-3\lambda_1^{9}+3\lambda_2^{9}&\lambda_2^{9}&0&0\\-4\lambda_0^{9}+12\lambda_1^{9}-12\lambda_2^{9}+4\lambda_3^{9}&3\lambda_1^{9}-6\lambda_2^{9}+3\lambda_3^{9}&-2\lambda_2^{9}+2\lambda_3^{9}&\lambda_3^{9}&0\\\lambda_0^{9}-4\lambda_1^{9}+6\lambda_2^{9}-4\lambda_3^{9}+\lambda_4^{9}&-\lambda_1^{9}+3\lambda_2^{9}-3\lambda_3^{9}+\lambda_4^{9}&\lambda_2^{9}-2\lambda_3^{9}+\lambda_4^{9}&-\lambda_3^{9}+\lambda_4^{9}&\lambda_4^{9}\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}$

行列Aを対角化しよう

対角化とは

固有値を求める

固有ベクトルを求める。

に対するを求める。

に対するを求める。

に対するを求める。

に対するを求める。

に対するを求める。

固有ベクトルを並べてとする。

の逆行列を求める。

をを用いて表す

10連スカウトの場合

$\lambda_0$ に対する $\overrightarrow{x_0}$ を求める。

$\lambda_1$ に対する $\overrightarrow{x_1}$ を求める。

$\lambda_2$ に対する $\overrightarrow{x_2}$ を求める。

$\lambda_3$ に対する $\overrightarrow{x_3}$ を求める。

$\lambda_4$ に対する $\overrightarrow{x_4}$ を求める。

固有ベクトルを並べて $P$ とする。

$P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求める。

$\overrightarrow{p_{n}}$ を $\overrightarrow{p_{0}}$ を用いて表す